La scomposizione in fattori primi è un importante concetto matematico che consente di esprimere un numero intero come prodotto di tutti i suoi divisori primi.
Questa tecnica ha numerose applicazioni pratiche, dalla crittografia alla teoria dei numeri.
In questa guida completa approfondiremo in modo semplice cos’è la scomposizione in fattori primi, come funziona il processo di fattorizzazione e come calcolarla manualmente o con l’aiuto di strumenti online.
Cos’è la scomposizione in fattori primi
La scomposizione in fattori primi (chiamata anche fattorizzazione) consiste nell’esprimere un numero intero positivo come prodotto di tutti i suoi divisori primi.
In altre parole, è il procedimento per smembrare un numero composto nei suoi numeri primi che lo compongono.
Per esempio:
- 12 = 2 x 2 x 3
- 24 = 2 x 2 x 2 x 3
- 50 = 2 x 5 x 5
I divisori primi di un numero sono quei numeri che lo dividono perfettamente lasciando resto zero e che sono primi tra loro (non hanno altri divisori all’infuori di 1 e di se stessi).
La scomposizione in fattori primi è importante perché permette di semplificare le espressioni numeriche e comprendere meglio la struttura interna di un numero. Inoltre, è alla base di molti campi della matematica come la crittografia, la teoria dei numeri e l’aritmetica modulare.
Vediamo ora in dettaglio come funziona il processo di fattorizzazione.
Scomposizione in fattori primi online
Per numeri molto grandi, con centinaia di cifre, è più semplice utilizzare calcolatrici o tool online come questo che effettuano la fattorizzazione in automatico.
Inserisci il numero intero che preferisci (121, 48, 36, 18, 72, ecc.) e fattelo scomporre in pochi istanti.
Come funziona la scomposizione in fattori primi
La scomposizione in fattori primi prevede i seguenti passaggi:
- Si divide il numero da fattorizzare per i primi numeri primi (2, 3, 5, 7…) fino a quando non si ottiene un resto diverso da zero.
- Ogni volta che il numero è perfettamente divisibile (resto = 0), il divisore è un fattore primo.
- Si continua a dividere il quoziente ottenuto fino ad arrivare ad un numero primo.
- Alla fine si moltiplicano tutti i fattori primi ottenuti.
Ad esempio, per scomporre il numero 120 in fattori primi, si procede nel seguente modo:
- 120 è perfettamente divisibile per 2, quindi 2 è un fattore primo
- Il quoziente 120/2 = 60
- 60 è ancora divisibile per 2, quindi 2 è un altro fattore
- Il nuovo quoziente 60/2 = 30
- 30 è divisibile per 2, 5 e 3. Tra questi, 5 e 3 sono primi, quindi sono fattori primi.
- Moltiplicando tutti i fattori (2 x 2 x 2 x 3 x 5) si ottiene 120.
Quindi la scomposizione in fattori primi di 120 è: 2 x 2 x 2 x 3 x 5
La fattorizzazione può essere espressa in forma esponenziale: 120 = 2^3 x 3^1 x 5^1
Come calcolare la scomposizione in fattori primi
Vediamo ora alcuni metodi pratici per calcolare la scomposizione in fattori primi di un numero.
Calcolo manuale
Per numeri piccoli, è possibile scomporre manualmente un numero nei suoi fattori primi utilizzando la divisione ripetuta come nell’esempio precedente.
Bisogna procedere per tentativi, dividendo il numero per i primi numeri primi fino a quando non si ottiene un resto diverso da zero. I divisori per cui si ottiene resto zero sono fattori primi.
Ad esempio, per trovare i fattori primi di 126:
- 126/2 = 63 (resto 0, quindi 2 è un fattore primo)
- 63/3 = 21 (resto 0, 3 è un fattore primo)
- 21/7 = 3 (resto 0, 7 è un fattore primo)
- Moltiplicando i fattori: 2 x 3 x 7 = 126
Quindi i fattori primi di 126 sono: 2, 3, 7
Il metodo manuale è adatto per numeri piccoli, ma può richiedere molto tempo per numeri grandi con molti fattori primi diversi.
Crivello di Eratostene
Il crivello di Eratostene è un algoritmo che permette di trovare tutti i numeri primi minori di un numero dato. Conoscendo i numeri primi, è poi facile scomporre un numero nei suoi fattori primi.
L’algoritmo prevede questi passaggi:
- Si scrive una lista di numeri da 2 fino al numero per cui vogliamo trovare i primi (ad es. 100)
- Si cancellano tutti i multipli di 2 (4, 6, 8…)
- Si considera il primo numero non cancellato (3) e si cancellano i suoi multipli (6, 9, 12…)
- Si prosegue considerando il primo numero non cancellato successivo, cancellandone i multipli
- Alla fine, i numeri non cancellati sono tutti primi
Una volta ottenuta la lista di numeri primi, basta provare a dividere il numero da scomporre per ciascuno di essi per trovare i fattori primi.
Il crivello di Eratostene è molto efficiente per numeri fino a 10 milioni o superiori.
Strategia di divisione per tentativi
Un altro metodo consiste nel dividere il numero per primi approssimativamente della sua stessa grandezza, anziché da 2 in su.
Ad esempio per 1039:
- 1039/1019 = 1 (non divisibile)
- 1039/1009 = 1
- 1039/997 = 1
- 1039/991 = 1
- 1039/983 = 1
- 1039/23 = 45 (divisibile, quindi 23 è un fattore primo)
- 45/5 = 9 (divisibile, 5 è un fattore primo)
- Quindi i fattori primi di 1039 sono 23 x 5.
Questa strategia è più veloce per numeri molto grandi.
Applicazioni della scomposizione in fattori primi
La fattorizzazione in numeri primi ha numerose applicazioni in matematica e crittografia. Eccone alcune:
- Criptografia RSA – Si basa sulla difficoltà di fattorizzare numeri primi molto grandi. La chiave privata può essere trovata solo risolvendo la fattorizzazione.
- Test di primalità – Verificare se un numero è primo significa controllare che abbia solo due divisori (1 e se stesso). Con la fattorizzazione si trovano tutti i divisori.
- Minimo comune multiplo (MCM) – Il MCM tra due numeri si ottiene moltiplicando i fattori primi comuni e non comuni.
- Massimo comun divisore (MCD) – Il MCD si ottiene moltiplicando solo i fattori primi comuni tra due numeri.
- Teoremi fondamentali dell’aritmetica – Si basano sul principio che ogni numero ha una unica scomposizione in fattori primi.
- Equazioni diofantee – Risolverle spesso richiede di fattorizzare espressioni numeriche.
- Aritmetica modulare – La fattorizzazione modulare permette di semplificare calcoli complessi in questo campo.