I numeri naturali sono tra i concetti matematici più elementari ma anche fondamentali per comprendere la matematica nel suo complesso.
Questa guida fornisce una panoramica completa di cosa sono i numeri naturali, la loro storia, le loro proprietà e applicazioni pratiche.
Quali sono i numeri naturali
In matematica, i numeri naturali sono i numeri interi positivi, a partire da 1. Essi rappresentano il conteggio e l’ordine.
I primi numeri naturali sono:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …
Lo zero (0) non è considerato un numero naturale in quanto non rappresenta una quantità.
I numeri naturali costituiscono l’insieme numerico fondamentale su cui si basa l’aritmetica elementare. Servono per contare, ordinare e misurare gli oggetti concreti.
Proprietà dei numeri naturali
I numeri naturali hanno diverse importanti proprietà:
- Sono discreti, ovvero distinti gli uni dagli altri di una unità. Non esistono valori intermedi.
- Hanno un ordine naturale: ogni numero ha un successore ed un predecessore ben definiti.
- Ogni numero naturale ha un successore che è il numero incrementato di 1. Ad esempio il successore di 3 è 4.
- Ogni numero naturale maggiore di 1 ha un predecessore che è il numero decrementato di 1. Il predecessore di 4 è 3.
- Lo zero (0) non ha predecessore mentre il successore di 0 è 1.
- L’uno (1) non ha predecessore mentre il successore è 2.
- Sono chiusi rispetto alle operazioni di somma e prodotto. La somma e il prodotto di due numeri naturali è ancora un numero naturale.
- Hanno la proprietà commutativa per la somma e il prodotto: cambiando l’ordine degli addendi o fattori il risultato non cambia.
- Hanno la proprietà associativa per la somma e il prodotto: raggruppando in modo diverso gli addendi o fattori il risultato non cambia.
- Hanno l’elemento neutro per la somma (lo zero) e per il prodotto (l’uno).
- Ogni numero naturale diverso da zero ha un simmetrico per la somma (il suo opposto).
- Ogni numero naturale diverso da zero ha un inverso per il prodotto (il suo reciproco).
Queste proprietà rendono i numeri naturali un monoide commutativo sia per l’addizione che per la moltiplicazione.
Storia dei numeri naturali
L’uso dei numeri naturali risale alla preistoria, con i primi uomini che avevano bisogno di contare oggetti concreti come animali, persone o giorni. I numeri venivano rappresentati con tacche su ossa o bastoncini.
Le prime rappresentazioni simboliche dei numeri risalgono alle antiche civiltà mesopotamiche, egizie, cinesi e maya, che usavano sistemi numerici posizionali.
Nell’antica Grecia i numeri naturali venivano studiati nell’ambito dell’aritmetica. Euclide ne diede una assiomatizzazione negli Elementi, definendoli come una moltitudine composta di unità.
Nel XIX secolo i numeri naturali vennero formalizzati nell’ambito della teoria degli insiemi da matematici come Cantor, Frege e Peano.
Oggi i numeri naturali sono uno dei concetti fondanti della matematica, con vastissime applicazioni pratiche.
La ricerca matematica su di essi riguarda le loro proprietà algebriche, logiche, combinatorie e la loro rappresentazione nei diversi sistemi assiomatici.
Numeri naturali e insiemi numerici
I numeri naturali costituiscono il primo insieme numerico N = {1, 2, 3, …}.
Gli insiemi numerici fondamentali sono costruiti a partire dai numeri naturali:
- Numeri interi Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Contengono i naturali e i loro simmetrici.
- Numeri razionali Q = { p/q con p e q interi, q ≠ 0 }. Contengono interi e frazioni.
- Numeri reali R. Contengono razionali e irrazionali.
- Numeri complessi C. Contengono reali e numeri immaginari.
I numeri naturali sono contenuti in tutti questi insiemi e ne costituiscono il nucleo primordiale.
Operazioni coi numeri naturali
Le quattro operazioni aritmetiche fondamentali sono definite così sui numeri naturali:
- Addizione: dati due numeri naturali a e b, la loro somma è un numero naturale c = a + b.
- Sottrazione: dati a e b, con b ≤ a, la loro differenza è un numero naturale c = a – b.
- Moltiplicazione: dati a e b, il loro prodotto è un numero naturale c = a x b.
- Divisione: dati a e b, con b ≠ 0, il quoziente a:b è un numero naturale q e il resto r è 0 ≤ r < b.
Oltre a queste, altre importanti operazioni sono:
- Esponenziazione: dati a e b, a elevato alla b è un numero naturale a^b.
- Radice: la radice n-esima di a è un numero naturale b tale che b^n = a.
- Fattorizzazione: scomporre a come prodotto di fattori primi.
- MCD e mcm: trovare il massimo comun divisore e minimo comune multiplo.
Usi e applicazioni
I numeri naturali sono indispensabili nella vita quotidiana. Li usiamo per:
- Contare oggetti: persone, cose, soldi, eventi.
- Misurazioni: lunghezze, pesi, tempo, punteggi.
- Ordine: posizionare elementi, stabilire successioni.
- Codici: numeri telefonici, codici postali, matricole.
- Datazioni: date, anni, orari.
In ambito scientifico e tecnologico i numeri naturali trovano applicazione in:
- Matematica: teoria dei numeri, crittografia, combinatoria.
- Informatica: algoritmi, codici binari, indirizzi IP.
- Statistica: raccolta e analisi dati quantitativi.
- Fisica e chimica: leggi quantitative, costanti numeriche.
- Biologia: sequenze genetiche, conteggio cellule.
- Economia e finanza: bilanci aziendali, analisi dati.
Proprietà interessanti
Ecco alcune proprietà e risultati notevoli che coinvolgono i numeri naturali:
- Esistono infiniti numeri primi.
- Il teorema di Euclide afferma che ogni numero naturale ha un’unica fattorizzazione in primi.
- Il criterio di divisibilità per 9: un numero è divisibile per 9 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 9.
- Il principio di induzione matematica permette di dimostrare proprietà per tutti i naturali.
- La successione di Fibonacci, in cui ogni numero è la somma dei due precedenti, genera numeri naturali con interessanti proprietà.
- Esistono curiosi numeri naturali come i numeri perfetti, i numeri di Mersenne, i numeri felici.
Lo studio delle proprietà dei numeri naturali continua a portare interessanti scoperte, sia di carattere teorico che applicativo. La ricerca in teoria dei numeri è tuttora molto attiva.