I numeri composti sono ovunque intorno a noi, ma pochi conoscono veramente la loro natura e le loro proprietà.
In questa guida completa andremo a scoprire cos’è un numero composto, quali sono le sue caratteristiche principali, come riconoscerlo e come distinguerlo da un numero primo.
Approfondiremo inoltre alcuni concetti matematici correlati come fattorizzazione, divisori e multipli.
Cos’è un numero composto
In parole semplici, un numero composto è un numero intero positivo che ha più di due divisori.
Ciò significa che può essere espresso come prodotto di numeri interi positivi diversi da 1 e da se stesso.
Per esempio:
- 8 è composto perché ha i divisori 1, 2, 4 e 8
- 12 è composto perché ha i divisori 1, 2, 3, 4, 6 e 12
I numeri composti sono il contrario dei numeri primi, che hanno esattamente due divisori: 1 e se stessi. Per esempio, 5 è primo perché i suoi unici divisori sono 1 e 5.
I primi numeri composti sono 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 e via dicendo. Come vedremo più avanti, ci sono infiniti numeri composti.
Proprietà dei numeri composti
Vediamo ora più nel dettaglio le proprietà che caratterizzano i numeri composti:
- Hanno almeno tre divisori
- Sono sempre maggiori di 1
- Possono essere espressi come prodotto di numeri primi (fattorizzazione)
- Non sono né primi né perfetti
- Hanno sempre uno o più divisori propri (diversi da 1 e da se stessi)
- I loro divisori propri sono inferiori alla radice quadrata del numero
- Hanno multipli comuni con altri numeri
Analizziamo più da vicino alcune di queste proprietà fondamentali.
Fattorizzazione
Una proprietà importante dei numeri composti è che possono sempre essere espressi come prodotto di due o più numeri primi.
Questo processo si chiama fattorizzazione.
Per esempio:
- 12 = 2 x 2 x 3
- 18 = 2 x 3 x 3
- 28 = 2 x 2 x 7
Scomponendo un numero composto in fattori primi, possiamo conoscere tutti i suoi divisori.
Infatti i divisori di un numero sono tutti i numeri che si possono ottenere combinando in moltiplicazione i fattori primi.
Divisori propri
Un altro modo per riconoscere un numero composto è contare i suoi divisori propri, cioè diversi da 1 e da se stesso.
Per esempio 15 ha come divisori propri: 3 e 5.
Un numero primo non può avere divisori propri, mentre un numero composto ne ha sempre almeno uno.
In generale, più divisori propri ha un numero, più sarà “composto”.
I divisori propri di un numero composto sono sempre inferiori o uguali alla sua radice quadrata.
Per esempio la radice di 100 è 10, e infatti i suoi divisori propri (2, 4, 5, 10) sono tutti inferiori a 10.
Multipli comuni
I numeri composti hanno sempre dei multipli in comune con altri numeri. Per esempio 15 e 21 hanno entrambi come multipli 3, 6, 9, 12 e così via.
I numeri primi invece, eccetto il 2, hanno solo multipli comuni con i numeri pari. Questa è un’altra caratteristica che distingue primi e composti.
Numeri composti da 1 a 100
| 4 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 14 | 15 | 16 | 18 |
| 20 | 21 | 22 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 30 | 32 |
| 33 | 34 | 35 | 36 | 38 | 39 | 40 | 42 | 44 | 45 |
| 46 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 54 | 55 | 56 | 57 |
| 58 | 60 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 68 | 69 | 70 |
| 72 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 80 | 81 | 82 | 84 |
| 85 | 86 | 87 | 88 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 |
| 96 | 98 | 99 | 100 |
Come riconoscere i numeri composti
Dopo aver visto le proprietà principali, vediamo ora come riconoscere concretamente se un numero è composto oppure no.
Divisibilità
Il modo più semplice è controllare se il numero è divisibile per qualche altro numero diverso da 1 e se stesso.
Per esempio:
- 18 è divisibile per 2, 3, 6, 9 quindi è composto
- 29 non è divisibile per nessun numero oltre 1 e sé stesso, quindi è primo
Possiamo sfruttare le proprietà di divisibilità per velocizzare il processo. Per esempio un numero è sicuramente divisibile per 2 se è pari e per 3 se la somma delle sue cifre è multipla di 3.
Fattorizzazione
Un altro metodo consiste nello scomporre il numero in fattori primi. Se la fattorizzazione restituisce più di due fattori, il numero è sicuramente composto.
Per esempio scomponendo 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 si deduce che è composto.
Crivello di Eratostene
Un sistema ingegnoso per trovare numeri composti è il crivello di Eratostene. Si parte da una tabella con tutti i numeri da 2 in su, poi si cancellano i multipli di 2 (tranne 2 stesso), poi i multipli di 3, e così via.
I numeri che rimangono sono primi, mentre quelli cancellati sono composti.
Numeri composti e numeri primi
Dopo aver visto come riconoscerli, è importante capire la relazione tra numeri composti e numeri primi.
Infiniti numeri composti
Mentre i numeri primi sono infiniti ma numerabili, i numeri composti sono letteralmente infiniti, troppo numerosi per essere contati.
Questo perché ogni numero primo può generare una quantità infinita di numeri composti suoi multipli.
Composti come multipli di primi
Come abbiamo visto, tutti i numeri composti possono essere espressi come prodotto di numeri primi. Quindi i primi sono i “mattoni” che generano l’infinità dei numeri composti.
Nessun pattern
A differenza dei numeri primi, i numeri composti non seguono un pattern preciso. Possiamo trovare due numeri composti consecutivi, per esempio 21 e 22, ma anche due primi consecutivi come 11 e 13.
Applicazioni dei numeri composti
Comprendere i numeri composti non è solo un esercizio matematico, ma ha diverse applicazioni concrete.
Crittografia
In crittografia si sfrutta il fatto che sia facile moltiplicare due grandi numeri primi, ma estremamente difficile fattorizzare il risultato. Questa proprietà dei numeri composti è alla base della sicurezza di protocolli come RSA.
Calcolo dei divisori
Conoscere i divisori di un numero permette di semplificare frazioni, trovare multipli e fattori comuni tra numeri diversi. I numeri composti hanno più divisori dei primi.
Teoria dei numeri
Lo studio dei numeri composti è fondamentale in teoria dei numeri e ha portato a conoscenze profonde come il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica.
Setacciare i primi
Generare numeri primi in modo efficiente è cruciale in crittografia e computer quantistici. Identificare i composti è il primo passo per setacciare i primi.
Approfondimenti e concetti correlati
Per concludere, ecco alcuni concetti matematici collegati ai numeri composti che è utile conoscere.
Numeri perfetti
Un numero perfetto è uguale alla somma di tutti i suoi divisori propri. Esempi sono 6 e 28. I numeri perfetti sono tutti pari e composti.
Radice quadrata
La radice quadrata di un numero composto non restituisce mai un numero intero. Per esempio √36 = 6, ma √35 non è un intero.
Numeri amici
Sono coppie di numeri composti tali che la somma dei divisori propri di ciascuno è uguale all’altro numero. Per esempio 220 e 284 sono amici.
Congruenza modulo n
Due numeri si dicono congruenti modulo n se, divisi per n, lasciano lo stesso resto. Si indica con a ≡ b (mod n). È un concetto importante in teoria dei numeri.
Equazioni diofantee
Sono equazioni in cui si cerca una soluzione intera di polinomi, spesso basate su proprietà dei numeri composti. Portano il nome del matematico Diofanto di Alessandria.